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1．随机向量的联合分布和边缘分布
（1）联合分布
设X=(X1,X2,…,XP)是p维随机向量，称为p元函数
\[F({x}_{1},\cdots,{x}_{p})=p\left\{ {X}_{1}\leq{x}_{1},\cdots,{X}_{p}\leq{x}_{p} \right\}\]
为X的联合分布函数。
（2）边缘分布
对于连续型随机向量(X,Y)，关于X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)分别为
\[{f}_{x}\left( x \right)=\int_{-\infty}^{\infty} {f\left( x,y \right)} d y\]
\[{f}_{Y}\left( y \right)=\int_{-\infty}^{\infty} {f\left( x,y \right)} d y\]
设随机向量X和Y具有联合概率密度
\[f(x,y)=\{\begin{matrix} 6, & {x}^{2}\leq y\leq x \\ 0, & 其他 \end{matrix}\]
求边缘概率密度fX(x)和fY(y)。
解 边缘概率密度的计算公式为
\[{f}_{x}\left( x \right)=\int_{-\infty}^{\infty} {f\left( x,y \right)}dy=\left\{ \begin{aligned} \&\int_{{x}^{2}}^{x} {6dy, 0\leq x\leq1} \\ \&0, 其他 \end{aligned} \right.\]
\[{f}_{Y}\left( y \right)=\int_{-\infty}^{\infty} {f\left( x,y \right)}dx=\left\{ \begin{aligned} \&\int_{y}^{\sqrt{y}} {6dx, 0\leq y\leq1} \\ \&0, 其他 \end{aligned} \right.\]
编写M文件sam1-1.m并保存。
code.matlab
function sam1-1
syms x y t;
fx=int(6,t,x.^2,x)
fy=int(6,t,y,sqrt(y))在MATLAB命令窗口，输入下面的语句：
code.matlab
>> sam1-1
fx=
-6*x*(x - 1)
fy=
-6*y^(1/2)*(y^(1/2) - 1)边缘概率密度fX(x)和fY(y)分别为
\[{f}_{x}\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned} \&6\left( x-{x}^{2} \right), 0\leq x\leq1 \\ \&0, 其他 \end{aligned} \right.\]
和
\[{f}_{Y}\left( y \right)=\left\{ \begin{aligned} \&6\left( \sqrt{y}-y \right), 0\leq y\leq1 \\ \&0, 其他 \end{aligned} \right.\]
2．随机向量的数字特征
（1）均值向量
若\(E({X}_{i})={\mu}_{i}\)存在，则称
\[E(X)=\left[ \begin{matrix} E({X}_{1}) \\ \vdots \\ E({X}_{p}) \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {\mu}_{1} \\ \vdots \\ {\mu}_{p} \end{matrix} \right]\]
为随机向量X的均值向量。
（2）协方差矩阵和相关矩阵
量\(E\left\{ \left[ X-E \right]\left( X \right)\left[ Y-E \right]\left( Y \right) \right\}\)被称为随机向量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y)，即
\[Cov(X,Y)=E\left\{ \left[ X-E(X) \right]\left[ Y-E(Y) \right] \right\}\]
\[{\rho}_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}\]
称为随机向量X与Y的相关系数。
为了了解某种橡胶的性能，下面抽取10个样品，对每个样品测量3项指标：硬度、变形和弹性，其数据如表2-1所示，试计算样本均值、样本离差矩阵、样本协方差矩阵和样本相关矩阵。
表2-1 橡胶性能指标数据
| 序 号 | 硬度（X1） | 变形（X2） | 弹性（X3） |
|---|---|---|---|
| 1 | 65 | 45 | 27.6 |
| 2 | 70 | 45 | 30.7 |
| 3 | 70 | 48 | 31.8 |
| 4 | 69 | 46 | 32.6 |
| 5 | 66 | 50 | 31.0 |
| 6 | 67 | 46 | 31.3 |
| 7 | 68 | 47 | 37.0 |
| 8 | 72 | 43 | 33.6 |
| 9 | 66 | 47 | 33.1 |
| 10 | 68 | 48 | 34.2 |
解 在命令窗口中输入：
code.matlab
>> x=[65 45 27.6;70 45 30.7;70 48 31.8;69 46 32.6;66 50 31;67 46 31.3;68 47 37;72 43 33.6;66 47 33.1;68 48 34.2];
>> m=mean(x)'
m =
68.1000
46.5000
32.2900
>> A=(10-1)*cov(x)
A =
42.9000 -17.5000 17.4100
-17.5000 34.5000 5.5500
17.4100 5.5500 55.7090
>> s=cov(x)
s =
4.7667 -1.9444 1.9344
-1.9444 3.8333 0.6167
1.9344 0.6167 6.1899
>> R=corrcoef(x)
R =
1.0000 -0.4549 0.3561
-0.4549 1.0000 0.1266
0.3561 0.1266 1.0000其中，m为均值向量，A为样本离差阵，s为样本协方差矩阵，R为样本相关矩阵。