1．多总体协方差矩阵的检验
多总体协方差矩阵的似然比统计量\({\lambda}_{4}\)为[大谦MATLAB，dqmatlab点com]
\[{\lambda}_{4}=\frac{{\left| \frac{A}{n} \right|}^{-n/2}}{\prod_{i=1}^{k} {{\left| \frac{{A}_{i}}{{n}_{i}} \right|}^{-{n}_{i}/2}}}\]
根据无偏性进行修正，将\({\lambda}_{4}\)中的ni用ni1替代，n用nk替代，然后对\({\lambda}_{4}\)取对数，得统计量：
\[M=-2\operatorname{ln}{{\lambda}_{4}^{*}}=(n-k)\operatorname{ln}{\left| \frac{A}{n-k} \right|}-\sum_{i=1}^{k} {({n}_{i}-1)\operatorname{ln}{\left| \frac{{A}_{i}}{{n}_{i}-1} \right|}}\]
当样本容量n很大时，在零假设为真时，M有以下近似分布：
\[(1-d)M=-2(1-d)\operatorname{ln}{{\lambda}_{4}^{*}}\~{\chi}^{2}(f),\]
其中
\[f=\frac{1}{2}p(p+1)(k-1),\]
\[d=\left\{ \begin{matrix} \frac{2{p}^{2}+3p-1}{6(p+1)(k-1)}\left[ \sum_{i=1}^{k} {\frac{1}{{n}_{i}-1}-\frac{1}{n-k}} \right], & 当{n}_{i}不全等 \\ \frac{(2{p}^{2}+3p-1)(k+1)}{6(p+1)(n-k)}, & 当{n}_{i}全相等 \end{matrix} \right.\]
对表1-2中给出的数据，试判断3个组（即3个总体）的协方差矩阵是否相等（α=0.10）？
解 在命令窗口中输入
code.matlab
>> xg1=[260 75 40 18;200 72 34 17;240 87 45 18;170 65 39 17;270 110 39 24;205 130 34 23;190 69 27 15;200 46 45 15;250 117 21 20;200 107 28 20;225 130 36 11;210 125 26 17;170 64 31 14;270 76 33 13;190 60 34 16;280 81 20 18;310 119 25 15;270 57 31 8;250 67 31 14;260 135 39 29];
>> xg2=[310 122 30 21; 310 60 35 18;190 40 27 15;225 65 34 16;170 65 37 16;210 82 31 17;280 67 37 18;210 38 36 17;280 65 30 23;200 76 40 17;200 76 39 20;280 94 26 11;190 60 33 17;295 55 30 16;270 125 24 21;280 120 32 18;240 62 32 20;280 69 29 20;370 70 30 20;280 40 37 17];
>> xg3=[320 64 39 17;260 59 37 11;360 88 28 26;295 100 36 12;270 65 32 21;380 114 36 21;240 55 42 10;260 55 34 20;260 110 29 20;295 73 33 21;240 114 38 18;310 103 32 18;330 112 21 11;345 127 24 20;250 62 22 16;260 59 21 19;225 100 34 30;345 120 36 18;360 107 25 23;250 117 36 16];
>> n=60;
>> nn=20;
>> A1= cov(xg1,1)*nn;
>> A2= cov(xg2,1)*nn;
>> A3= cov(xg3,1)*nn;
>> A=A1+A2+A3;
>> k=3;
>> p=4;
>> d=(2*p^2+3*p-1)*(k+1)/(6*(p+1)*(n-k))
>> M=(n-k)*log(det(A/(n-k)))-(nn-1)*(log(det(A1/(nn-1)))+log(det(A2/(nn-1)))+log(det(A3/(nn-1))))
>> p=1-chi2cdf((1-d)*M,0.5*p*(p+1)*(k-1))
d =
0.1006
M =
22.6054
p =
0.4374因为p=0.4374>0.10，所以认为3个组的协方差矩阵之间没有显著差异。
2．多个正态总体的均值向量和协方差矩阵同时检验
多个正态总体的均值向量和协方差矩阵同时检验的似然比统计量\({\lambda}_{5}\)为
\[{\lambda}_{s}=\frac{\prod_{i=1}^{k} {{\left| {A}_{i} \right|}^{{n}_{i}/2}}}{{\left| T \right|}^{n/2}}\cdot\frac{{n}^{np/2}}{\prod_{i=1}^{k} {{n}_{i}^{{n}_{i}p/2}}}\]
然后进行修正，将\({\lambda}_{5}\)中的ni用ni1替代，n用nk替代，修正后的统计量记为\({\lambda}_{5}^{*}\)。
\[{\lambda}_{5}^{*}=\frac{\prod_{i=1}^{k} {{\left| {A}_{i} \right|}^{\frac{{n}_{i}-1}{2}}}}{{\left| T \right|}^{\frac{n-k}{2}}}\cdot\frac{(n-k{)}^{\frac{(n-k)p}{2}}}{\prod_{i=1}^{k} {({n}_{i}-1{)}^{\frac{({n}_{i}-1)p}{2}}}}\]
对\({\lambda}_{5}^{*}\)取对数，可得统计量
\[{M}_{s}=-2\operatorname{ln}{{\lambda}_{5}^{*}}=-\sum_{i=1}^{k} {({n}_{i}-1)}\operatorname{ln}{\left| {A}_{i} \right|}-(n-k)p\operatorname{ln}{(}n-k)+(n-k)\operatorname{ln}{\left| T \right|}+\sum_{i=1}^{k} {({n}_{i}-1)p\operatorname{ln}{(}{n}_{i}-1)}\]
当样本容量n很大时，在零假设为真时，\({\lambda}_{5}^{*}\)有以下近似分布：
\[(1-b){M}_{s}\~{\chi}^{2}(f),\]
其中
\[f=\frac{1}{2}p(p+3)(k-1),\]
\[b=\left( \sum_{i=1}^{k} {\frac{1}{{n}_{i}-1}-\frac{1}{n-k}} \right)\left( \frac{2{p}^{2}+3p-1}{6(p+3)(k-1)} \right)-\frac{p-k+2}{(n-k)(p+3)}\]
对1-2表中给出的身体指标化验数据，试判断3个组（即3个总体）的均值向量和协方差矩阵是否全部相等（α=0.05）？
解 在命令窗口中输入
code.matlab
>> xg1=[260 75 40 18;200 72 34 17;240 87 45 18;170 65 39 17;270 110 39 24;205 130 34 23;190 69 27 15;200 46 45 15;250 117 21 20;200 107 28 20;225 130 36 11;210 125 26 17;170 64 31 14;270 76 33 13;190 60 34 16;280 81 20 18;310 119 25 15;270 57 31 8;250 67 31 14;260 135 39 29];
>> xg2=[310 122 30 21; 310 60 35 18;190 40 27 15;225 65 34 16;170 65 37 16;210 82 31 17;280 67 37 18;210 38 36 17;280 65 30 23;200 76 40 17;200 76 39 20;280 94 26 11;190 60 33 17;295 55 30 16;270 125 24 21;280 120 32 18;240 62 32 20;280 69 29 20;370 70 30 20;280 40 37 17];
>> xg3=[320 64 39 17;260 59 37 11;360 88 28 26;295 100 36 12;270 65 32 21;380 114 36 21;240 55 42 10;260 55 34 20;260 110 29 20;295 73 33 21;240 114 38 18;310 103 32 18;330 112 21 11;345 127 24 20;250 62 22 16;260 59 21 19;225 100 34 30;345 120 36 18;360 107 25 23;250 117 36 16];
>> n=60;
>> nn=20;
>> A1= cov(xg1,1)*nn;
>> A2= cov(xg2,1)*nn;
>> A3= cov(xg3,1)*nn;
>> A=A1+A2+A3;
>> k=3;
>> p=4;
>> T=n*cov([xg1;xg2;xg3],1);
>> f=p*(p+3)*(k-1)/2,
>> b=(k/(nn-1)-1/(n-k))*((2*p*p+3*p-1)/6/(p+3)/(k-1))-(p-k+2)/(n-k)/(p+3),
>> M5=-(nn-1)*(log(det(A1))+log(det(A2))+log(det(A3)))-(n-k)*p*log(n-k);
>> M5=M5+(n-k)*log(det(T))+( (nn-1))*p*log((nn-1))*3,
>> p=1-chi2cdf((1-b)*M5,f)
f =
28
b =
0.0643
M5 =
46.1067
p =
0.0337因p=0.03373<0.05，所以拒绝零假设，认为3个组的均值向量和协方差之间有显著差异。