SOR（超松弛）迭代法

设线性方程组为AX=B，则SOR（超松弛）迭代法的迭代公式为

\[{x}_{m}^{k+1}=(1-w){x}_{i}^{k}+\frac{w}{{a}_{mm}}(-\sum_{i=1}^{m-1} {{a}_{mi}{x}_{i}^{k+1}-\sum_{i=m+1}^{n} {{a}_{mi}{x}_{i}^{k}}+{b}_{m}})\]

对应的矩阵表达式为

\[{x}^{\{k+1\}}={B}_{0}{x}^{k}+f\]

其中，B0为SOR（超松弛）迭代矩阵，B0=(DwL) –1[(1w)D+wU]，f=w(D+wL)1b，D为对角矩阵，L和U分别为严格下三角矩阵和严格上三角矩阵。据此，可以编写实现Gauss-Seidel迭代法的M文件SOR.m，如下所示。[大谦MATLAB，dqmatlab点com]

code.matlab 
function s=SOR(a,b,x0,w,eps)
  % 用SOR（超松弛）迭代法解线性方程组
  % a为系数矩阵，b为方程组ax=b的右端项
  % x0为初值，w为松弛因子
  if nargin==4
      eps=1.0e-6;
  elseif nargin<4
      error
      return
  end
  D=diag(diag(a)); %求对角矩阵
  L=-tril(a,-1); %求严格下三角矩阵
  U=-triu(a,1); %求严格上三角矩阵
  C=inv(D-w*L);
  B=C*[(1-w)*D+w*U];
  f=w*C*b;
  s=B*x0+f;
  while norm(s-x0)>=eps
      x0=s;
      s=B*x0+f;
  end
  return

【例5】用上面编写的SOR（超松弛）函数求解下列方程组

\[\left\{ \begin{matrix} 4{x}_{1}+3{x}_{2}=24 \\ 3{x}_{1}+4{x}_{2}-{x}_{3}=30 \\ -{x}_{2}+4{x}_{3}=-24 \end{matrix} \right.\]

下面用MATLAB实现，在命令窗口中输入

code.matlab 
>> a=[4 3 0;3 4 -1;0 -1 4];
>> b=[24 30 -24]';
>> x0=[1 1 1]';
>> w=1.25;
>> SOR(a,b,x0,w)
ans =
    3.0000
    4.0000
   -5.0000