MATLAB数据拟合: 库模型

曲线拟合工具箱提供了多个模型，包括指数模型、傅立叶级数模型、高斯模型、多项式模型、幂级数模型、有理模型、正弦和模型和威布尔分布模型等。[大谦MATLAB，dqmatlab点com]

指数模型

工具箱提供了有1项和2项的指数模型

\[\begin{matrix} y=a{e}^{bx} \\ y=a{e}^{bx}+c{e}^{dx} \end{matrix}\]

指数模型常用于量的改变速率与量的初始大小成比例的情况。如果与e有关的系数为负，则y表示指数衰减；如果系数为正，则y表示指数增长。

例如，核素的单一放射性衰减模式可以用1项指数模型描述。a为核子的初始个数，b为衰减常数，x为时间，y为衰减一定时间以后剩下的核子个数。如果存在2种衰减模式，则必须使用2项指数模型。在模型中另外添加一种衰减模式时，对应地添加一个指数项在模型中。

傅立叶级数是用于描述周期信号的正弦和余弦函数的和。可以用三角形式表示，也可以用指数形式表示。工具箱提供的是三角傅立叶级数形式，即

\[y={a}_{0}+\sum_{i=1}^{n} {{a}_{i}\operatorname{cos}{(}nwx)+{b}_{i}\operatorname{sin}{(}nwx)}\]

其中，a0模拟信号的DC偏移，与i=0余弦项有关，w为信号的基本周期，n为级数的项数， $1\leq n\leq8$ 。

高斯模型用于模拟峰值，用下面的方程给出

\[y=\sum_{i=1}^{n} {{a}_{i}{e}^{\left[ -{\left( \frac{x-{b}_{i}}{{c}_{i}} \right)}^{2} \right]}}\]

其中，a为振幅，b为位置，c为峰宽，n为要拟合的峰的个数， $1\leq n\leq8$ 。

多项式模型用下式描述

\[y=\sum_{i=1}^{n+1} {{p}_{i}{x}^{n+1-i}}\]

其中，n+1为多项式的项数，n为多项式的阶次， $1\leq n\leq9$ 。项数给定要拟合的系数个数，阶次给定预测变量的最高幂次。例如，一个三次多项式可用下式描述

\[y={p}_{1}{x}^{3}+{p}_{2}{x}^{2}+{p}_{3}x+{p}_{4}\]

需要简单的经验模型时，常常使用多项式模型。该模型可用于插值，也可用于外推。优点是灵活简便，缺点是幂次太高时存在不稳定性。

工具箱提供了一个1项和2项幂级数模型，即

\[\begin{matrix} y=a{x}^{b} \\ y=a+b{x}^{c} \end{matrix}\]

幂级数模型常用于描述数据的变异。

有理模型用多项式的比表示，即

\[y=\frac{\sum_{i=1}^{n+1} {{p}_{i}{x}^{n+1-i}}}{{x}^{m}+\sum_{i=1}^{m} {{q}_{i}{x}^{m-i}}}\]

其中，n为分子多项式的阶次， $0\leq n\leq5$ ，m是分母多项式的阶次， $1\leq m\leq5$ 。注意，与xm有关的系数总是1。这使得多项式阶次相同时分子和分母唯一。

与多项式模型一样，有理模型常用于描述简单的经验模型。其主要优点是描述复杂结构时使用灵活，缺点是分母接近0时会变得不稳定。

正弦和模型用于拟合周期函数，用下面的等式给出

\[y=\sum_{i=1}^{n} {{a}_{i}\operatorname{sin}{(}{b}_{i}x+{c}_{i})}\]

其中，a为振幅，b为频率，c为每个正弦波项的相位常数。n为级数中的项数， $1\leq n\leq8$ 。本公式与前面介绍的傅立叶级数密切相关，主要区别在于正弦和等式包括相位常数项，并且不包括DC偏移项。

威布尔分布广泛应用于可靠性和生灭分析。工具箱提供了2参数威布尔分布

\[y=ab{x}^{b-1}{e}^{-a{x}^{b}}\]

其中，a为比例参数，b为形状参数。注意，还存在一个3参数威布尔分布模型，用x-c代替上面公式中的x，其中c为位置参数。另外，还有1参数模型，其中形状参数是固定的，只有比例参数。