空间向量运算

已知向量a={2,1,-1}，b={1,-1,2}，计算a+b，a-b，2a，a·b，ab。

解 在命令窗口中输入下面的命令行，分别用dot和cross函数计算向量的点积和叉积：

code.matlab 
>> a=[2 1 -1];
>> b=[1 -1 2];
>> c=a+b
 c =
    3     0     1
>> d=a-b
 d =
    1     2    -3
>> e=2.*a
 e =
    4     2    -2
>> f=dot(a,b)
 f =
    -1
>> g=cross(a,b)
 g =
    1    -5    -3

已知3个点的坐标：M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2))，求\(∠AMB\)。

解 \(∠AMB\)是点M到点A的向量\(\vec{MA}\)和到点B的向量\(\vec{MB}\)之间的夹角。\(\vec{MA}\)={1,1,0}，\(\vec{MB}\)={1,0,1}。在命令窗口中输入下面的命令行：

code.matlab 
>> ma=[1,1,0];
>> mb=[1,0,1];
>> mdot=dot(ma,mb);
>> modma=sqrt(ma(1)*ma(1)+ma(2)*ma(2)+ma(3)*ma(3));
>> modmb= sqrt(mb(1)*mb(1)+mb(2)*mb(2)+mb(3)*mb(3));
>> amb=acos(mdot/modma/modmb)
amb =
      1.0472

即\(∠AMB\) =1.0472。

已知三角形ABC的顶点坐标：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积。

解 三角形ABC的面积

\[{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left| \vec{AB}\times\vec{AC} \left|\]

式中，\(\vec{AB}\)={2,2,2}，\(\vec{AC}\)={1,2,4}。即三角形的面积等于两个向量叉积的模的一半。

在命令窗口中输入下面的命令行。

code.matlab 
>> ab=[2,2,2];
>> ac=[1,2,4];
>> cp=cross(ab,ac);
>> s=sqrt(cp(1)*cp(1)+ cp(2)*cp(2)+ cp(3)*cp(3))/2
s =
         3.7417

即三角形ABC的面积等于3.7417。