曲面积分包括对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分。[大谦MATLAB，dqmatlab点com]
对面积的曲面积分
计算曲面积分\(\iint_{\Sigma} {\frac{dS}{z}}\)，其中\(\Sigma\)是球面x2+y2+z2=a2被平面z=h截出的顶部（取a=3，h=2）。
解 \(\Sigma\)的方程为\(z=\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}\)
在xoy面上的投影区域dxy为圆形闭区域：\({x}^{2}+{y}^{2}\leq{a}^{2}-{h}^{2}\)。又因为
\[\sqrt{1+{z}_{x}^{2}+{z}_{y}^{2}}=\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}\]
有
\[\iint_{\Sigma} {\frac{dS}{z}}=\iint_{{D}_{xy}} {\frac{adxdy}{{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}}\]
利用极坐标，得
\[\iint_{\Sigma} {\frac{dS}{z}}=\iint_{{D}_{xy}} {\frac{ardrd\theta}{{a}^{2}-{r}^{2}}}=a\int_{0}^{\sqrt{{a}^{2}-{h}^{2}}} {\frac{rdr}{{a}^{2}-{r}^{2}}}\]
取a=3，h=2，在命令窗口中输入
code.matlab
>> syms r;
>> 3*2*pi*int(1/(3*1-r*r),r,0,sqrt(3*1-2*2))
ans =
-6*pi*(log(2)/6 - log(3*5^(1/2) + 7)/6)对坐标的曲面积分
计算曲面积分 \(\iint_{\Sigma} {xyzdxdy}\)，其中\(\Sigma\)是球面 \({x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=1\) 外侧在\(x\geq0，y\geq0\)的部分。
解 该曲面积分的计算公式如下所示，这里利用极坐标表示二重积分。
\[\iint_{\Sigma} {xyzdxdy=2}\iint_{{D}_{xy}} {xy\sqrt{1-{x}^{2}-{y}^{2}}dxdy}=\int_{0}^{\pi/2} {\operatorname{sin}{2}\theta d\theta}\int_{0}^{1} {{r}^{3}\sqrt{1-{r}^{2}}dr}\]
在命令窗口中输入
code.matlab
>> syms t r;
>> int(sin(2*t),t,0,pi/2)*int(r^3*sqrt(1-r*r),r,0,1)
ans =
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